Question

【题目】已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______

Answer 1

【答案】

【解析】

为了简化问题，我们可以设单位圆x+y=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)+8y=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.

为了简化问题，我们可以设单位圆x+y=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)+8y=1.

得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了

该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.

椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为

=，

所以，

所以

故答案为：