Question

【题目】定义：是无穷数列，若存在正整数k使得对任意，均有则称是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列的间隔数

（1）若，是不是近似递增数列，并说明理由

（2）已知数列的通项公式为，其前n项的和为，若2是近似递增数列的间隔数，求a的取值范围：

（3）已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.

Answer 1

【答案】（1）是近似递增数列，详见解析（2）（3）证明见解析；

【解析】

（1）根据近似递增数列的定义判断可知是近似递增数列；

（2）求出，根据，即恒成立，可得；

（3）因为等价于，因为n，k是正整数，所以，均取不到，所以时上式恒成立，可得是近似递减数列，再验证时，不是近似递减数列，则可得4是它的最小间隔数.

（1）是近似递增数列,理由如下：

因为，

或[注：2，3，4，…，都是间隔数.]

即，所以是近似递增数列.

（2）由题意得，

所以对任意恒成立，

即恒成立，.

令，则，

即a的取值范围是.

（3）因为等价于，

即，（*）

因为n，k是正整数，所以，均取不到，

所以时上式恒成立，即是近似递减数列，4是它的间隔数.

当，当时，，故不等式（*）不成立；

当，当时，，故不等式（*）不成立；

当，当时，，故不等式（*）不成立；

所以，4是它的最小间隔数.