Question

【题目】已知直线，，，记，，.

（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；

（2）在中，求边上中线长的最小值；

（3）求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值为.（3）

【解析】

（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，利用 斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）先证明，可得为直角三角形，则中线长为，再求得与的交点，与的交点，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果；（3）求得与交点的坐标，可得，再求得

点到距离，则三角形面积 ，分类讨论，利用基本不等式可得结果.

（1）当时，直线，

设原点关于的对称点为，则解得

故所求点的坐标为.

（2）法一：由，得，

故为直角三角形，且为斜边，中线长为，

由，得与的交点，

由，得与的交点，

故中线长，即当时，中线长有最小值为.

法二：因为点是轴上动点，所以当垂直轴时最短，

此时中线长最小值为.

（3）由，得与交点，

由两点间距离公式得，

点到距离，

三角形面积 ，

当时，；

当时；

当时.

所以，，.