Question

【题目】已知两个不相等的非零向量 ， ，两组向量 ， ， ， ， 和 ， ， ， ， 均由2个 和3个 排列而成，记S= + + + + ，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若 ⊥ ，则Smin与| |无关；
③若 ∥ ，则Smin与| |无关；
④若| |＞4| |，则Smin＞0；
⑤若| |=2| |，Smin=8| |2 ， 则 与 的夹角为 ．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：∵xi ， yi（i=1，2，3，4，5）均由2个 和3个 排列而成，
∴S=xiyi可能情况有三种：①S=2 +3 ；②S= +2 +2 ；③S=4 + ．
S有3种结果：S1= + + + + ，
S2= + + + + ，
S3= + + + + ，故①错误；
∵S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ≥ + ﹣2| || |= ≥0，
∴S中最小为S3；
若 ⊥ ，则Smin=S3= ，与| |无关，故②正确；
③若 ∥ ，则Smin=S3=4 + ，与| |有关，故③错误；
④若| |＞4| |，则Smin=S3=4| || |cosθ+ ＞﹣4| || |+ ＞﹣ + =0，故④正确；
⑤若| |=2| |，Smin=S3=8| |2cosθ+4 =8 ，
∴2cosθ=1，∴θ= ，
即 与 的夹角为 ．
综上所述，命题正确的是②④，
所以答案是：②④．
【考点精析】认真审题，首先需要了解命题的真假判断与应用(两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系)．