Question

【题目】设，为奇函数.

（1）求的值；

（2）若对任意恒有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由求出实数的值，求出函数的解析式，然后利用奇偶性的定义验证函数为奇函数；

（2）分析出函数为增函数，结合奇函数的性质，由得出，由单调性得出对任意的恒成立，构造函数，对该二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出最小值，然后解不等式可得出实数的取值范围.

（1）因为函数为奇函数，且定义域为，故，所以.

故，所以，此时，，定义域为，关于原点对称.

，则函数为奇函数；

（2）由（1）得，

则函数在上为减函数，由于函数为奇函数，

由，可得，则有.

，则该不等式对任意的恒成立，

构造函数，其中，则.

二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，下面分三种情况讨论：

①当时，即时，函数在上单调递增，

则函数的最小值为恒成立，，此时；

②当时，即时，函数在上单调递减，

则函数的最小值为，解得，此时；

③当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，整理得，

解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.