Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若函数的最小值为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）先求出，则至少存在一个零点，讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合单调性与函数图象可得结果；（2）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性，结合函数图象可排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围.

试题解析：（1），

令，故在上单调递增，

则，

因此，当或时，只有一个零点；

当或时，有两个零点；

（2）当时，，则函数在处取得最小值，

当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，

使得，

若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，

又，故不符合题意.

若，则，函数在上单调递增，

又，故不符合题意.

若，则，设正数，

则，

与函数的最小值为矛盾，

综上所述，，即.