Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．

（1）证明：平面；

（2）若，为棱的中点，，，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）由矩形性质及面面垂直性质，可证明平面，从而可知，结合题意，即可由线面垂直的判定定理证明平面；

（2）取中点，连接可证明面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由空间向量法求得二面角的余弦值，进而结合同角三角函数关系式求得正弦值．

（1）证明：∵四边形是矩形

∴

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面，

∴

又∵，平面

∴平面

（2）取中点，连接，

∵，

∴，

又面面，且面面，

∴面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，设，

建立空间直角坐标系

由（1）知平面，故

∴，设，

可得，，，

所以，，由题得，解得，

∴，，

设是平面的法向量，则，即，得，

设是平面的法向量，则，即，得，

则，

∴．

∴二面角的正弦值为．