Question

【题目】如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．

（1）若，证明：BE⊥CD；

（2）若，求点E到平面SBD的距离．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）点E到平面SBD的距离为.

【解析】

（1）在线段上取一点使，连接， 可得垂直．再证明垂直平面，所以垂直，又垂直．由此得垂直平面，从而可得结果；（2）先求得，再求得，设点到平面的距离为，则由得，从而可得结果．

（1）因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．

因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，

所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．

又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，

所以SA⊥CD，AD⊥CD．

因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，

所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．

因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．

又BE平面BEF，所以CD⊥BE．

（2）解：

由题设得，，

又因为，，，

所以，

设点C到平面SBD的距离为h，则由VS—BCD＝VC—SBD得，

因为，所以点E到平面SBD的距离为．