Question

【题目】如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取，的中点，，连接，，，利用等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）解法一：利用线面垂直的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥体积公式进行求解即可；

解法二：建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合已知求出点的坐标，最后利用空间向量夹角公式进行求解即可.

解：（1）如图，取，的中点，，连接，，，

因为，，

所以，，，

又，

所以，，

又因为，所以，

所以，即，

平面，

所以平面，而平面，

所以平面平面；

（2）解法一：设到平面的距离为，

因为，，

所以，

由（1），，又，所以，

平面，

所以平面，因为，所以点到平面的距离为，

所以，

所以，

故直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：建系法

如图，建立空间坐标系，则，，，，

设，由，得

即，设平面的法向量为，

因为，，

所以，令，可得，

于是.