Question

△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．
（1）若cosC=

6

3

，求AB；
（2）求

BA

•

BC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由A，B，C成等差数列易得B=

π

3

，进而可得sinC=

3

3

，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得3²=a²+c²-ac，结合基本不等式可得结论．

解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，∴B=

π

3

，（2分）
又cosC=

6

3

，∴sinC=

3

3

，（4分）
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

，
所以AB=

BC

sinA

×sinC=

3

3 2

×

3

3

=2；（7分）
（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即3²=a²+c²-ac，（9分）
又a²+c²≥2ac，当且仅当a=c时取到等号，
所以9=a²+c²-ac≥ac（11分）
所以

BA

•

BC

=

1

2

ac≤

9

2

，
所以

BA

•

BC

的最大值是

9

2

．（14分）

点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题．