Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点．将沿DE翻折，得到四棱锥．设的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：

①总有平面；

②线段BM的长为定值；

③存在某个位置，使DE与所成的角为90°．

其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】①②

【解析】

取D的中点N，连接MN，EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断①，②，假设DE⊥C得出矛盾结论判断③．

取D的中点N，连接MN，EN，

则MN为△CD的中位线，

∴MN∥CD，且MN=CD

又E为矩形ABCD的边AB的中点，∴BE∥CD，且BE=CD

∴MN∥BE，且MN=BE即四边形MNEB为平行四边形，∴BM∥EN，

又EN平面A1DE，BM平面A1DE，

∴BM∥平面DE，故①正确；

由四边形MNEB为平行四边形可得BM＝NE，

而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，故②正确；

取DE的中点O，连接O，CO，

由D＝E可知O⊥DE，

若DE⊥C，则DE⊥平面OC，

∴DE⊥OC，又∠CDO＝90°﹣∠ADE＝45°，

∴△OCD为等腰直角三角形，故而CDOD，

而ODDE，CD＝4，与CDOD矛盾，故DE与C所成的角不可能为90°．

故③错误．

故答案为：①②．