Question

已知圆，直线．
（Ⅰ）若与相切，求的值；
（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）存在m=9±2

解析试题分析：解：(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)²+(y－3)²=9，
圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3，                             2分
若 l与C相切，则得=3，                          
∴(3m－4)²=9(1+m²)，∴m =．                               5分
(Ⅱ)假设存在m满足题意。
由   x²+y²+2x－6y+1=0  ，消去x得
x=3－my             
(m²+1)y²－(8m+6)y+16=0，                                  
由△=(8m+6)²－4(m²+1)·16>0，得m>，                  8分
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁+y₂=，y₁y₂=．
 OA·OB=x₁x₂+y₁y₂
=(3－my₁)(3－my₂)+y₁y₂
=9－3m(y₁+y₂)+(m²+1)y₁y₂
=9－3m·+(m²+1)·
=25－=0                             10分
24m²+18m=25m²+25，m²－18m+25=0，
∴m=9±2，适合m>，
∴存在m=9±2符合要求．                    12分
考点：直线与圆的位置关系
点评：解决该试题的关键是利用联立方程组，设而不求的思想和韦达定理来表示得到求解，基础题。