Question

【题目】如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F分别是棱CC1，AB的中点．

（1）证明：CF∥平面AEB1．

（2）若AC＝BC＝AA1＝4，∠ACB＝90°，求三棱锥B1﹣ECF的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）．

【解析】

（1）取AB1的中点G，连结EG，FG，推导出四边形FGEC是平行四边形，从而CF∥EG，由此能证明CF∥平面AEB1．

（2）求出△B1EC的面积，三棱锥F﹣B1CE的高为2，由此能求出三棱锥F﹣B1CE的体积，再利用等体积法求解.

（1）如图所示：

取AB1的中点G，连结EG，FG，

∵F，G分别是AB，AB1的中点，

∴FG∥EC，FG＝EC，

∴四边形FGEC是平行四边形，

∴CF∥EG，

∵CF平面AEB1，EG平面AEB1，

∴CF∥平面AEB1．

（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

∵BC＝AA1＝4，E是CC1的中点，

∴△B1EC的面积为，

∵AC⊥BC，平面ABC平面,平面ABC平面=BC,

∴AC平面,

∵F是AB的中点，

∴三棱锥F﹣B1CE的高为2，

∴三棱锥F﹣B1CE的体积为V．

∵三棱锥B1﹣ECF的体积与三棱锥F﹣B1CE的体积相等，

∴三棱锥B1﹣ECF的体积为.