Question

已知函数f（x）=|x-a|-alnx，a∈R
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的最小值为m，且-2a≤m≤-a，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意有，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f（x）=|x-a|-alnx=x-a-alnx
∵，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＞0时，
若x≥a，，此时函数单调递增，
若x＜a，，此时函数单调递减，
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，没有最小值，不合题意；
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞），
所以函数f（x）的最小值为m=f（a）=-alna
由题意，-2a≤-alna≤-a，即1≤lna≤2
解得 e≤a≤e²
分析：（1）先确定函数的定义域，再分类讨论，将绝对值符号化去，利用导数可确定函数的单调区间；
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，没有最小值，不合题意；a＞0，此时函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞），所以函数f（x）的最小值为m=f（a）=-alna，从而问题可转化为-2a≤-alna≤-a，故可求a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类，将绝对值符号化去．