Question

【题目】已知函数（，且，e为自然对数的底）.

（I）求函数的单调区间

（Ⅱ）若函数在有两个不同零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为；（Ⅱ）.

【解析】

（I），分，两种情况讨论解不等式即可；

（Ⅱ）因为有两个正零点，由（I）知且在上单调递减，在上单调递增.当，当，，所以只需，对于①直接解不等式，对于②，构造，结合单调性解决.

（I）由，知

①当时，定义域为得，得；

②当时，定义域为得，得

所以，当时，增区间为，减区间为；

当时，增区间为，减区间为；

（Ⅱ）因为有两个正零点，由（I）知

且在上单调递减，在上单调递增.

设时，指数函数是爆炸增长，，

当，当，

因为有两个正零点，所以有，

由①得，

对于②，令，，

在上单调递增，且，由知，

由②得

综上所述，

【点晴】

本题考查利用导数研究函数的单调性以及已知函数零点个数求参数范围的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.