Question

【题目】曲线与两坐标轴的交点都在圆上，圆与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线与圆交于，两点，是否存在使得与共线，如果存在求直线的方程，若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，方程为.

【解析】

（Ⅰ）令，则或，令，则，得到曲线与坐标轴交点为，，，再求圆的方程.

（Ⅱ）假设存在满足条件，当的斜率不存在时，不满足条件，当斜率存在时，设的方程为，联立得，设，，利用韦达定理求得 的坐标，再根据共线向量定理求解.

（Ⅰ）令，则或，

令，则，

曲线与坐标轴交点为，，，

设圆心为，则，

∴，

，

∴圆的方程为.

（Ⅱ）假设存在满足条件，

当的斜率不存在时，不满足条件，

当的斜率存在时，设的方程为，

由得，

，

设，，则，，

，

，

由（1）知，，

∴，

若与共线，则，

整理得，

∴或，

经检验，符合，

∴存在的方程为.