Question

【题目】已知数列｛｝的首项a1＝2，前n项和为，且数列｛｝是以为公差的等差数列·

（1）求数列｛｝的通项公式；

（2）设，，数列｛｝的前n项和为，

①求证：数列｛｝为等比数列，

②若存在整数m，n(m＞n＞1)，使得，其中为常数，且－2，求的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见证明；②当n=2，m=4时，λ=-2，当n=2，m=3时，λ=-1.

【解析】

（1）先求解等差数列的通项公式，再根据求解的通项公式；（2）①采用错位相减法先求，再根据，证明为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即取什么值时能满足要求.

（1）因为，所以

所以

即

当时，

∴

当n=1时，，符合上述通项，所以

(2）①因为，所以

所以

则

两式相减，可整理得

∴，，且

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列.

②由①可知，，且由（1）知，代入

可得

整理得

即：，设，则

则

因为，所以当时，，即

因为，且

所以

所以或，即n=2，m=4或3

当n=2，m=4时，λ=-2，

当n=2，m=3时，λ=-1.