Question

【题目】已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）.

（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由对任意的恒成立，即，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，即可得到实数的值；（2）由（1）知，即，

令（， ）则，所以，令，求和后利用放缩法可得，从而可得的最小值.

所以，.

试题解析：（1）因为

所以，

由对任意的恒成立，即，

由，

（i）当时， ， 的单调递增区间为，

所以时， ，

所以不满足题意.

(ii)当时，由，得

时， ， 时， ，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以的最小值为 .

设，所以，①

因为

令得，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，②

由①②得，则.

（2）由（1）知，即，

令（， ）则，

所以，

所以

，

所以，

又，

所以的最小值为.