Question

【题目】已知椭圆：的两个焦点为,,焦距为,直线:与椭圆相交于,两点,为弦的中点.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）若直线:与椭圆相交于不同的两点,,,若（为坐标原点）,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）因为为弦的中点,设,,将其代入利用点差法,即可求得答案.

（2）因为,,三点共线,, 根据三点共线性质可得:,则,将直线和椭圆联立方程消掉,结合已知,利用韦达定理即可求得答案.

（1） 焦距为,则,

设,,

为弦的中点,根据中点坐标公式可得:,,

又 将其,代入椭圆:

将两式作差可得:,

,

——①.

——②

由①②得:

椭圆的标准方程为.

（2） ,,三点共线,

根据三点共线性质可得: ,则

设,,则,

.

将直线和椭圆联立方程消掉.

可得:.

——①,

根据韦达定理:,,

代入,可得:,,

,即.

,,

——②,

代入①式得,即,

,

满足②式,

或.