Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x定义域为[-2，t]（t＞-2．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：f（t）＞f（-2）；
（3）当1＜t＜4时，求满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的个数．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系求出函数的单调区间，进而确定出t的取值范围；
（2）运用函数的极小值进行证明；
（3）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．

解答：（1）解：因为f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．
所以t的取值范围为（-2，0]．
（2）证明：因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（-2）=

13

e2

＜e，
所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t）；
（3）因为

f′(x0)

ex0

=x02-x₀，所以足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2即为x02-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，从而问题转化为求方程g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²=0在[-2，t]上的解的个数，
因为g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t+2)(t-4)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

（t+2）（t-1），
所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

（t-1）²＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有两解．
即，满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的个数为2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及函数零点问题，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化