Question

【题目】已知函数

(1)若关于的不等式的解集为,求的值;

(2)若对任意恒成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 不等式可化为，而解集为，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；

（2）法一：讨论和时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围；

法二：利用二次函数在上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.

（1）法一：不等式可化为，其解集为，

由根与系数的关系可知，

解得，经检验时满足题意.

法二：由题意知，原不等式所对应的方程的两个实数根为和4，

将（或4）代入方程计算可得，经检验时满足题意.

（2）法一：由题意可知恒成立，

①若，则恒成立，符合题意。

②若，则恒成立，而，

当且仅当时取等号，所以，即.

故实数的取值范围为.

法二：二次函数的对称轴为.

① 若，即，函数在上单调递增，恒成立，

故；

②若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，

由得.

故；

③若，即，此时函数在上单调递减，

由得，与矛盾，故不存在.

综上所述，实数的取值范围为.