Question

【题目】已知椭圆的离心率，直线与相交于，两点，当时，

（1）求椭圆的标准方程.

（2）在椭圆上是否存在点，使得当时，的平分线总是平行于轴？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，或.

【解析】

（1）根据离心率得出，，将直线与椭圆方程联立，得出交点坐标，再由两点间距离公式，即可得出椭圆方程；

（2）假设存在点，设，，由整理得出，由题意得出，结合韦达定理求解即可.

（1）设椭圆的半焦距为

因为离心率，所以，

由解得.

不妨设，，则.

所以，从而，.

所以椭圆的标准方程为.

（2）假设存在点，设，.

由，消去得.

因为，所以，

且，.

由的平分线平行于轴，得

所以，即，

可得，

所以，

整理得.

当变化时，上式恒成立，

所以，解得或.

故满足条件的点的坐标为或.