Question

【题目】已知函数，且在上满足恒成立.

（1）求实数的值；

（2）令在上的最小值为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）分别在和两种情况下讨论导函数的正负，得到原函数单调性，由此可知时不合题意，并求出时，，则只需即可，令，利用导数可求得，结合，由此可确定仅有满足条件；

（2）利用导数和零点存在性定理可确定函数的单调性，得到，由可化简得到，代入解析式即可证得结论.

（1）当时，原函数可化为：，则，

当时，，在上单调递增，

，当时，，不合题意；

当时，，

∴当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

即.

要使在时恒成立，则只需，即.

令，则，

∴当时，；当时，，

即在上单调递减，在上单调递增.

又，满足条件的只有，即.

（2）由（1）知：，，

，.

令，则，

，，即在上单调递增；

又，，

，使得，即，

且当时，；当时，，

即在上单调递减；在上单调递增，

，即，

，

即.