Question

【题目】已知函数.

（1）若函数有两个零点，求a的取值范围；

（2）设函数的两个零点为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）函数有两个零点，等价于函数的图象与直线有两个交点，求，判断的单调性，从而求出a的取值范围；

（2）不妨设，由题意，可得，两式相减，可得，两式相加可得.问题转化为求函数的单调性，根据当时，，得到，从而证明结论.

（1）函数的定义域为，函数有两个零点，即方程有两个根，

令，则函数的图象与直线有两个交点.

，令.

当时，；当时，，

函数在单调递增，在单调递减，，

且当时，；当时，；当时，.

函数的图象与直线有两个交点时，，

即函数有两个零点时，a的取值范围为.

（2）证明：不妨设.

由题意可得.

两式相减可得，两式相加可得.

.

令，则，

函数在上单调递增，

，.

.

又，

，即，

.