Question

【题目】已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，C的准线与E交于P，Q两点，且．

（1）求E的方程；

（2）过E的左顶点A作直线l交E于另一点B，且BO（O为坐标原点）的延长线交E于点M，若直线AM的斜率为1，求l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由，得到，根据焦点坐标得到，两式联立，求出，，即可得出结果；

（2）先由题意，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，求出点坐标，根据对称性，得到的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果.

（1）因为抛物线的焦点为，

由题意，可得：椭圆的两焦点为，

又抛物线的准线与交于，两点，且，将代入椭圆方程得，所以，则，即①，

又②，根据①②解得：，，

因此椭圆的方程为；

（2）由（1）得的左顶点为，设直线的方程为，，

由得，所以，

因此，所以，

则，

又因为（为坐标原点）的延长线交于点，

则与关于原点对称，所以，

因为直线的斜率为1，

所以，解得：，

因此，直线的方程为：.