Question

【题目】若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域 上是“利普希兹条件函数”．

（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；

（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；

（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）不妨设，则恒成立． ，从而可得结果；（2）令，则，从而可得函数不是“利普希兹条件函数”； （3）设的最大值为，最小值为，在一个周期，内，利用基本不等式的性质可证明.

试题解析：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，

不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．

∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，

∴k的最小值为 ．

（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），

令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，

而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，

∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．

（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，

则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．

若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．

若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．

综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．