Question

【题目】椭圆的上、下焦点分别为，，右顶点为B，且满足

Ⅰ求椭圆的离心率e；

Ⅱ设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点，问是否存在过的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在满足条件的直线，斜率为.

【解析】

根据可得，即可求出椭圆的离心率，

由已知得，故椭圆方程为，设，求出点P的坐标，再求出线段PB为直径的圆的圆心坐标，根据直线和圆的位置关系可得．

解：，右顶点为B，

为等腰三角形，

，

由，

椭圆的离心率．

由已知得，．

故椭圆方程为，设由，，

，，

，

，

又因为点P在椭圆上，故，

由以上两式可得，

点P不在椭圆的顶点，

，，

故，

设圆的圆心为，则，，

则圆的半径，

假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，

由相切可知，

即得，解得

故存在满足条件的直线．