Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形， ， 在上，且∥面BDM.

（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；

（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：

利用题意建立空间直角坐标系，据此可得：

(1) 直线PC与平面BDM所成角的正弦值为

(2) 平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.

试题解析：

解：因为， 作AD边上的高PO，

则由，由面面垂直的性质定理，得，

又是矩形，同理，知, ，故.

以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线y轴，建立如图所示的坐标系，则，

连结AC交BD于点N，由，

所以，又N是AC的中点，

所以M是PC的中点，则，设面BDM的法向量为，

，

，得，

令，解得，所以取.

（1）设PC与面BDM所成的角为，则，

所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .

（2）面PAD的法向量为向量，设面BDM与面PAD所成的锐二面角为，

则，故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.