Question

【题目】定义函数（其中为自变量，为常数）.

（Ⅰ）若当时，函数的最小值为-1，求实数的值；

（Ⅱ）设全集，已知集合，，若集合，满足，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（1）采用换元法令，原函数可转化为，，再由对称轴与定义域的关系分类讨论进一步确定最值即可；

（2）由题可知，化简可得；

集合，

整理得，由，可得在内有解，再采用换元法，令，原式等价于方程在上有解，分离参数得，结合函数增减性即可求解

（Ⅰ）令，∵，∴，

设，，

①当，即时，，与已知矛盾；

②当，即，，

解得或，∵，∴；

③当，即，，

解得，但与矛盾，故舍去，

综上所述，之值为3.

（Ⅱ），

，

由已知即在内有解，

令，则，方程在上有解，

也等价于方程在上有解.

∵在上单调递增，

∴，故所求的取值范围是.