Question

【题目】已知函数，.

若恒成立，求的取值范围；

已知，是函数的两个零点，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：构造，求导，算单调性，取最值情况法一：联立方程组求解转化为证明，设，求导证明结论；法二：要证，只需证，由单调性只需证，令证明结论

解析：令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，

若恒成立，则即.

方法一：，，

，

即

，

欲证：，只需证明，只需证明，

只需证明.

设，则只需证明，

即证：.

设，，

在单调递减，，

，所以原不等式成立.

方法二：由（1）可知，若函数 有两个零点，有，则，且，

要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，

只需证，

又，

即证

即证，.

令，，

有在上单调递增，，.

所以原不等式成立.