Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R,令F（x）=f（x）+g（x）．

（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（0，1）；（Ⅱ）2.

【解析】

（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，即为恒成立，令，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值.

（1）当m=时，．

由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．

（2）令x+1．

所以=．

当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，

又因为G（1）=﹣,

所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．

当m＞0时，．

令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．

因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．

故函数G（x）的最大值为．

令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．

又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．

所以整数m的最小值为2．