【题目】在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:
方案一：每天回报
元；
方案二：第一天回报
元，以后每天比前一天多回报元；
方案三：第一天回报
元，以后每天的回报比前一天翻一番.
记三种方案第
天的回报分别为
，
，
.
（1）根据数列的定义判断数列
，
，
的类型，并据此写出三个数列的通项公式；
（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.
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【题目】甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销
天。两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出
件以内（含件）的产品，每件产品返利元，超出件的部分每件返利
元；乙品牌每天固定返利
元，且每卖出一件产品再返利
元。经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下：
（Ⅰ）现从乙品牌试销的天中随机抽取天，求这天的销售量中至少有一天低于的概率.
（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：
①记甲品牌的日返利额为
（单位：元），求的分布列和数学期望；
②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.
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【题目】已知数列
各项均为正数，
为其前
项的和，且
成等差数列.
（1）写出
、
、
的值，并猜想数列的通项公式
；
（2）证明（1）中的猜想；
（3）设
，
为数列
的前项和.若对于任意
，都有
，求实数
的值.
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【题目】在平面直角坐标系中，曲线
(α为参数)经过伸缩变换
得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C2的普通方程；
(2)设曲线C3的极坐标方程为
，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1，0)，求
的值．
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【题目】设有二元关系
，已知曲线
.
（1）若
时，正方形
的四个顶点均在曲线
上，求正方形的面积；
（2）设曲线与
轴的交点是
，抛物线
与
轴的交点是
，直线
与曲线
交于
，直线
与曲线交于
，求证直线
过定点，并求该定点的坐标；
（3）设曲线与轴的交点是
，
，可知动点
在某确定的曲线
上运动，曲线上与上述曲线在
时共有4个交点，其坐标分别是
、
、
、
，集合
的所有非空子集设为
，将
中的所有元素相加（若只有一个元素，则和是其自身）得到255个数
，求所有正整数
的值，使得
是一个与变数
及变数
均无关的常数.
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【题目】如图，圆形纸片的圆心为
，半径为
，该纸片上的正方形
的中心为，
、
、
、
为圆上点，
，
，
，
分别是以
，
，
，
为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得、、、重合，得到四棱锥.当该四棱锥体积取得最大值时，正方形的边长为______
.
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【题目】设
为数列
前
项的和，
，数列
的通项公式
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，则称
为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列
，求
的值；
（3）是否存在正整数
、
、
使得
成立，若存在，求出、、；若不存在，说明理由.
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