Question

已知数列{a_n}是首项为1的等差数列，若a₂+1，a₃+1，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得(a3+1)2=a5•(a2+1)，利用等差数列的通项表述已知项，求解方程可求d，进而可求a_n
（2）由bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和即可求解

解答：解：（1）∵a₂+1，a₃+1，a₅成等比数列．
∴(a3+1)2=a5•(a2+1)
即（2+2d）²=（1+4d）（2+d）
解可得，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题主要考查了等比数列的性质及等差数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，注意裂项时不要漏掉了

1

2