Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.

（1）若，，，求方程在区间内的解集；

（2）若点是直线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合.若恒成立，求实数的最大值；

（3）若函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”，求、和满足的充要条件.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”

【解析】

（1）由题意，，时，由，可得，

可得，，，再结合，易求得在区间内的解集。（2）先根据辅助角公式化简

，求出值域根据

的解为0和，故要使恒成立，即可求出的最大值。（3）

先根据三角函数图像特点求得，进而求得的表达式，然后分别讨论

和两种情况分别讨论可求得、和满足的充要条件。

解：（1）由题意，

当，，时，，

，则有或，.

即或，.又因为，故在内的解集为.

（2）在该直线上，故.因此，，

所以，的值域.

又的解为0和，故要使恒成立，只需

，而，

即，所以的最大值.

（3）解：因为，设周期.

由于函数须满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.

因此，根据三角函数的图像特征可知，

，.

又因为，形如的函数的图像的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，

因为，；所以当且仅当，时，的图像关于点对称；此时，，.

（i）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；

（ii）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；

综上，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”.