Question

【题目】如图，在三棱柱中，，

（1）求证：；

（2）若四边形为正方形，为正三角形，M是的中点，求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点为N，通过线线垂直证明平面，即可推出，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；（2）首先证明为正三棱锥，过点作平面，则O为正的中心，取上靠近点C的三等分点为E，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.

（1）证明：取的中点为N，在中，，所以,

又，且，所以，

，平面，，所以平面，

又平面，所以，

所以在中，由及的中点为N，得.

（2）由四边形为正方形，得，

由为正三角形，得，所以

又由（1）知，所以为正三棱锥，

过点作平面，则O为正的中心，取上靠近点C的三等分点为E，

则，，两两垂直，分别以射线，，为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，

设，则，，

，，，，，，，

，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，所以，取，得

，

设二面角为，因为为钝角，所以，

即所求的二面角的余弦值为.