Question

【题目】已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，短轴长为2.直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，又l与直线， 分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点).

(1)求椭圆C的方程；

(2)求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

（1）由离心率及可得，于是可得椭圆的方程．（2）结合题意逐步求解，先求得点A,B的坐标，并根据点的位置得到；然后根据直线与椭圆的位置关系可得，于是．由△OAB的面积为2计算可得，最后根据数量积的定义将用表示，并可得到所求范围．

试题解析：

(1)∵离心率e＝， ，

∴＝＝，解得a2＝2，

∴椭圆的方程为＋y2＝1．

(2)由可得点A的坐标为 ，

由可得点B的坐标为，

又点A在第一象限，点B在第二象限，

∴即

∴m2(1－4k2)>0，

又m2≥0，

∴1－4k2>0.

∵|AB|＝＝，

原点到直线的距离为，即△OAB底边AB上的高为，

∴S△OAB＝·· ＝ ＝ 2，

∴m2＝1－4k2.

由消去y整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

∵直线与椭圆交于两点，

∴Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝48k2>0，解得k2>0．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

∴y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，

∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－7.

∵0<k2<，

∴1＋2k2∈，

∴∈，

∴·∈.

故的取值范围为.