Question

【题目】已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.

②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析；②．

【解析】

（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，可直接求出点，当直线的斜率存在时，设直线：，，联立，可得韦达定理，在根据题目直接求出切线方程，利用根于系数的关系进行化简消元，即可得点的轨迹方程；

（Ⅱ）①利用弦长公式可得，同理可得，进而化简计算即可；②变形可得，利用基本不等式可得最值．

（Ⅰ）由已知，

当直线的斜率不存在，即直线：时，，

过点的切线为：，即⑴，

过点的切线为：，即⑵，

联立⑴⑵解得；

当直线的斜率存在时，设直线：，，

联立，消去得，

则，

过点的切线为：，⑶，

过点的切线为：，⑷，

⑶＋⑷得，

，整理得⑸，

⑶－⑷得，

整理得，代入⑸的

整理得，因为，

则，即；

综合得点的轨迹方程为：；

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得，

则，

同理，

，

即为定值；

②

，

因为，则，则，

则

当且仅当，即时，等号成立，

所以四边形的面积存在最小值，且为．