Question

【题目】已知点到抛物线的焦点的距离和它到直线的距离之比是．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过圆：上任意一点作圆的切线与轨迹交于，两点，求证：．

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）求得抛物线的焦点，设，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理，可得所求轨迹方程；

（2）对直线的斜率讨论，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积公式，结合直线与圆相切，即可得到证明．

解：（1）抛物线的焦点，

设，由题意可得，

两边平方可得，

化为，

点的轨迹的方程为椭圆；

（2）证明：当切线的斜率不存在时切线方程为或，

当切线方程为时，切线与椭圆的两个交点为和，

此时，

即；

当时，同理可证得.

当切线斜率存在时，可设的方程为，

与椭圆方程联立，可得，

则，

设，，

则，，

∴

，

∵与圆相切，

∴，∴，

∴，即．

综上可得，．