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    【题目】四棱锥中，底面为矩形， .侧面底面.

    （1）证明： ；

    （2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

    【答案】（1）见解析（2）

    【解析】【试题分析】（1）设中点为，连接，由已知，所以，根据面面垂直的性质定理，有平面，以为原点， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，计算可得证.（2）设，利用直线和平面所成角为，计算，再利用平面和平面的法向量计算二面角的余弦值.

    【试题解析】

    解：（1）证法一：设中点为，连接，

    由已知，所以，

    而平面平面，交线为

    故平面

    以为原点， 为轴， 为轴，如图建立空间直角坐标系，并设，

    则

    所以

    ，所以.

    证法二：设中点为，连接，由已知，所以，

    而平面平面，交线为

    故平面，从而 ①

    在矩形中，连接，设与交于，

    则由知，所以

    所以，故 ②

    由①②知平面

    所以.

    （2）由，平面平面，交线为，可得平面，

    所以平面平面，交线为

    过作，垂足为，则平面

    与平面所成的角即为角

    所以

    从而三角形为等边三角形，

    （也可以用向量法求出，设，则，可求得平面的一个法向量为，而，由可解得）

    设平面的一个法向量为，则，

    ， 可取

    设平面的一个法向量为，则，

    ，可取

    于是，

    故二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．

    （1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数（的值精确到0.01）；

    （2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取9名参加座谈会．

    （i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；

    （ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？

    阅读时间不足8.5小时

    阅读时间超过8.5小时

    理工类专业

    40

    60

    非理工类专业

    附：（）.

    临界值表：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    <>

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的下降到2018年底的，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：

    年份（）

    2012

    2013

    2014

    2015

    2016

    2017

    2018

    贫困发生率

    10.2

    8.5

    7.2

    5.7

    4.5

    3.1

    1.4

    （1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于的概率；

    （2）设年份代码，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．

    附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.

    （1）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；

    （2）设直线与圆相交于、两点，与轴交于点，求.

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    【题目】抛物线：，直线的斜率为2．

    （Ⅰ）若与相切，求直线的方程；

    （Ⅱ）若与相交于，，线段的中垂线交于，，求的取值范围．

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    【题目】已知点到抛物线的焦点的距离和它到直线的距离之比是．

    （1）求点的轨迹的方程；

    （2）过圆：上任意一点作圆的切线与轨迹交于，两点，求证：．

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    【题目】若无穷数列满足：，当'，时， （其中表示，，…，中的最大项），有以下结论：

    ① 若数列是常数列，则；

    ② 若数列是公差的等差数列，则；

    ③ 若数列是公比为的等比数列，则：

    ④ 若存在正整数，对任意，都有，则，是数列的最大项.

    其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.

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    【题目】随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：

    每周使用次数

    1次

    2次

    3次

    4次

    5次

    6次及以上

    男

    4

    3

    3

    7

    8

    30

    女

    6

    5

    4

    4

    6

    20

    合计

    10

    8

    7

    11

    14

    50

    （1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？

    （2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.

    ① 求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；

    ②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望．

    附表及公式：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    【题目】在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（　　）

    A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值2

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