Question

【题目】某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面和两条长度相等的直线型路面、，桥面跨度的长不超过米，拱桥所在圆的半径为米，圆心在水面上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.设，已知直线型桥面每米修建费用是元，弧形桥面每米修建费用是元.

（1）若桥面（线段、和弧）的修建总费用为元，求关于的函数关系式；

（2）当为何值时，桥面修建总费用最低？

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）设为弧的中点，连结，，，通过解直角三角形以及弧长公式，求得的长，由此计算出修建总费用的表达式，根据长度的限制，和圆的直径，求得的取值范围.

（2）利用导数求得的单调区间，进而求得当为何值时，取得最小值.

（1）设为弧的中点，连结，，，则

在中，.

又因为，所以弧长为，

所以

当时，；当时，，所以

所以，.

（2）设，则，令得

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低.