Question

函数f(x)=

a

•

b

-

3

2

，

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，其中ω＞0，点（x₁，0），（x₂，0）是函数f（x）图象上相邻的两个对称中心，且|x1-x2|=

π

2

（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）图象向右平移m（m＞0）个单位后所对应的函数图象是偶函数图象，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积的坐标运算与二倍角的正弦与余弦、辅助角公式即可求得f（x）=cos（2x+

π

6

）；再由函数f（x）图象上相邻的两个对称中心之间的距离|x₁-x₂|=

π

2

可求得其周期T，继而得ω，于是得函数f（x）的表达式；
（2）由f（x-m）=cos[2（x-m）+

π

6

]=son（2x-2m+

π

6

）为偶函数⇒m=

π

12

-

kπ

2

（k∈Z），依题意m＞0，即可求得m的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

=

3

•

1+cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx-

3

2

=

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx
=cos（2ωx+

π

6

）．
又函数f（x）图象上相邻的两个对称中心之间的距离|x₁-x₂|=

π

2

，
即

T

2

=

π

2

，
∴T=π=

2π

2ω

，
∴ω=1，
∴函数f（x）的表达式为：f（x）=cos（2x+

π

6

）；
（2）∵f（x-m）=cos[2（x-m）+

π

6

]=son（2x-2m+

π

6

）为偶函数，
∴-2m+

π

6

=kπ（k∈Z），
∴m=

π

12

-

kπ

2

（k∈Z），又m＞0，
∴当k=0时，m取得最小值，为

π

12

．

点评：本题考查三角恒等变换，突出考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换与余弦函数的性质，考查平面向量的数量积的坐标运算，属于中档题．