Question

【题目】如图，边长为的正方形和高为的等腰梯形所在的平面互相垂直，，，与交于点，点为线段上任意一点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点使平面与平面垂直，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在，且此时的值为

【解析】

（Ⅰ）证明EF∥BD，OF∥ED．推出OF∥平面ADE；

（Ⅱ）取EF中点M，连结MO，得到MO⊥BD．证明MO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADE的法向量利用空间向量的数量积求解直线BF与平面ADE所成角；

（Ⅲ）设，求出平面BCH的法向量，通过平面BCH与平面ADE垂直，则，转化求解即可．

证明：（Ⅰ）因为正方形中，与交于点，

所以.

因为，

所以 且

所以为平行四边形.

所以 .

又因为平面，平面，

所以平面.

解：（Ⅱ）取中点，连结，因为梯形为等腰梯形，所以.

又因为平面平面，

平面，

平面平面,

所以平面.

又因为,

所以两两垂直.

如图，建立空间直角坐标系，

则

，

，，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以.

设直线与平面所成角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）设，

则，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，.

所以.

若平面与平面垂直，则.

由，得.

所以线段OF上存在点使平面与平面垂直，

的值为.