Question

【题目】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若且中点的纵坐标为3．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）过点的直线交抛物线于不同两点，分别过点、点分别作抛物线的切线，所得的两条切线相交于点．求的面积的最小值及此时的直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小值，此时直线方程为．

【解析】

（Ⅰ）设，将直线方程代入抛物线的方程，结合韦达定理及过焦点的弦长公式；

（Ⅱ）设，利用导数可得的方程，联立方程即可求出点的坐标，利用弦长公式，可得，运用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，进而得到的面积的表达式，根据函数的性质即可求出其最小值以及直线方程．

（Ⅰ）设，

且，

，

则抛物线方程为，抛物线焦点为，

依题意，直线与抛物线交于两点，

故其斜率存在，设，

由消得恒成立，

，

，

，

．

（Ⅱ）设，

由得，

，

直线的方程为，

即，①

同理直线的方程为，②

设过点的直线方程为，

由消得，

，

由①-②得，

而，故有，

由①+②得，

即点，

，

点到直线的距离，

，

，

当，即时，有最小值，

此时直线方程为．