Question

【题目】在三棱锥中，.

（1）求证：；

（2）若点 为上一点，且，求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点E，连接，然后由等腰三角形的性质推出，从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，再求出平面的一个法向量，从而利用空间向量的夹角公式求解即可.

解：

（1）证明：取的中点E，连接，

∵，∴，

同理可得，

又，∴平面，

又平面，∴.

（2）∵，

∴为等腰直角三角形，且，

∴，∴，即，

又，且，∴平面，

∴以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∴，

设，∵，，

∴，

∴∴，

∴，

又，

设是平面的法向量，

则

令，得，∴，

设直线与平面所成角为，

则

，

∴直线与平面所成角的正弦值为.