Question

【题目】已知函数f（x）＝|x|+|x﹣1|．

（1）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；

（2）在（1）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．

Answer 1

【答案】（1）2（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．

（2）法一：综合法，利用基本不等式证明即可；法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．

（1）由已知可得，

所以fmin（x）＝1，

所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，

∴0≤m≤2，

所以实数m的最大值M＝2.

（2）法一：综合法

∵正实数a，b满足a2+b2＝2，

∴ab≤1

∴，当且仅当a＝b时取等号，①

又∴

∴，当且仅当a＝b时取等号，②

由①②得，

∴，

所以a+b≥2ab

法二：分析法因为a＞0，b＞0，

所以要证a+b≥2ab，只需证，

即证a2+b2+2ab≥4a2b2，

所以只要证2+2ab≥4a2b2，

即证2(ab)2-ab-1≤0，

即证,

因为2ab+1＞0，

所以只需证ab≤1，

下证ab≤1，

因为2＝a2+b2≥2ab，

所以ab≤1成立，

所以a+b≥2ab成立.