Question

【题目】已知函数，对任意，都有.

讨论的单调性；

当存在三个不同的零点时，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增.；(2)

【解析】

（1）根据可得，得到，求导后，分别在和两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定的情况；在时，首先求得为一个零点；再利用零点存在性定理求解出中存在一个零点；根据，可确定另一个零点，从而可知满足题意.

（1）由，得

则，

若时，即时，在单调递减

若，即时，有两个零点

零点为：，

又开口向下

当时，，，单调递减

当时，，，单调递增

当时，，，单调递减

综上所述，当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增

（2）由（1）知当时，单调递减，不可能有三个不同的零点；

当时，在和上单调递减，在上单调递增

，又，有

在上单调递增，，

令，

令，单调递增

由，求得

当时，单调递减，

在上单调递增

故

故，，

由零点存在性定理知在区间有一个根，设为：

又，得，，是的另一个零点

故当时，存在三个不同的零点，，