Question

已知函数f（x）=（c^x-a）²-2x，a∈R，e为自然对数的底数．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）证明：对任意，恒有成立；
（III）当a=0时，设，证明：对ε∈（0，1），当时，不等式总成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，令f′（x）＞0，解得f（x）的单调增区间；
（II）当x∈（-∞，0）时，h（x）=e^2x-2x是减函数；当x∈[0，+∞）时，h（x）=e^2x-2x是增函数，从而h（x）≥h（0），进而可证对任意，恒有成立；
（III）当a=0时，得f（x）=e^2x-2x，从而=，可证，根据当时，，可得当时，不等式总成立
解答：（I）解：f′（x）=2e^x（e^x-a）-2=2（e^2x-ae^x-1）
令f′（x）＞0，解得
∴f（x）的单调增区间是
（II）证明：由（I）知，当x∈（-∞，0）时，h（x）=e^2x-2x是减函数；当x∈[0，+∞）时，h（x）=e^2x-2x是增函数；
∴h（x）≥h（0）
∴e^2x-2x≥1
∴e^2x≥2x+1
时，∴e^-2x≥-2x+1＞0
∴
∴对任意，恒有成立；
（III）证明：当a=0时，得f（x）=e^2x-2x
∴
=
=
∵ε∈（0，1），∴当时，
由（II）知，，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴当时，
∴当时，不等式总成立
点评：本题以函数为载体，考查导数法求函数的单调区间，考查不等式的证明，解题的关键是充分利用函数的单调性，难度较大．