Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；
（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）证法一： ．

设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，

于是 = ．

因为x2＞x1＞﹣1，所以x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0，

所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调增函数．

证法二：∵f（x）= ．

∴f′（x）= ．

当x∈（﹣1，+∞）时，

f′（x）＞0恒成立，

故函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数

（2）解：由（1）可知，函数在[0，2]上为单调增函数，

于是，当x∈[0，2]时，f（x）min=f（0）=1，…（11分） ．

所以，当x∈[0，2]时，函数f（x）的值域为

【解析】（1）证法一：设x1 ， x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2 ， 作差判断f（x1），f（x2）的大小，可得绪论
证法二：求导，根据x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）根据（1）中函数的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数单调性的判断方法的理解，了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．