Question

【题目】记表示m，n中的最大值，如.已知函数，.

（1）设，求函数在上的零点个数；

（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）存在，.

【解析】

（1）利用导数求出的单调区间及最值，结合图像即可判定；（2）构造函数，对该函数在的最大值进行分类讨论求解，只需要最大值小于0即可.

（1）设，则.

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所，所以，即，所以.

设，结合与在上的图象可知，

这两个函数的图象在内有两个交点，

即在上的零点个数为2（或由方程在内有两根可得）.

（2）假设存在实数，使得对恒成立，

则对恒成立，

即对恒成立，

①设，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以，

当即时，，所以，因为，所以，

故当时，对恒成立；

当，即时，在上递减，

所以.

因为，所以，

故当时，对恒成立.

②若对恒成立，

则，

所以.

由①②得，.

故存在实数，使得对恒成立，且a的取值范围为.