Question

【题目】已知定点，圆，过点的直线交圆于两点，过点作直线交直线于点，

（1）求点的轨迹方程；

（2）若是曲线上不重合的四个点，且与交于点，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得,则点的轨迹是以点为焦点的椭圆，求出的值，可得点的轨迹方程；

（2）由知， 且，

①当直线中有一条直线的斜率不存在时，

②当直线的斜率为时,其方程为: ，联立直线与椭圆，可得，的值，可用来表示，同理可得，故可用来表示，令，利用函数的性质可其取值范围,综合可得答案.

解：（1）由题意可得：圆，，可得,

如图：，

易得：,可得，

,

则点的轨迹是以点为焦点的椭圆.其中

故点的轨迹方程为；

（2）由知， 且

①当直线中有一条直线的斜率不存在时，

②当直线的斜率为时,其方程为:

由得：，设

则

同理可得：，所以

令

综上，的取值范围